O Ábaco e o MAB

Por Cátia Silva...


Na últimas aulas de CEMD abordamos o Ábaco/Calculador Multibásico e o MAB ( multibase arithmetic bocks).
Começámos por construir um Calculador Multibásico com o seguinte material: uma placa de esferovite, pauzinhos de espetada e contas.
A palavra ábaco tem origem do latim "abacus", não se sabe ao certo a data, mas existem vestígios esde á 5 mil anos atrás. É um instrumento de cálculo que tem por base o sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez.
Depois da construção resolvemos uma ficha sobre a ajuda do mesmo, concluímos que com ele dava para efectuar as operações de adição e subtracção.
Alguns exemplos de como nós trabalhámos os nossos calculadores multibásicos individuais.


Abordamos também, como já foi referido, o MAB, este começou a tornar-se conhecido nas escolas a partir do momento em que o professor Zoltan Paul Dienes, matemático húngaro o começou a divulgar. Foi bastante utilizado nas escolas a partir da década de 60. O procedimento de cálculo evidenciado pelo MAB é o método da decomposição, cada número é decomposto em centenas, dezenas e unidades, e que ao serem efectuados os cálculos, são trabalhadas as noções de ordem e classe.
O cubo pequeno representa uma unidade, a barra, representa dez cubos pequenos ou seja 1 dezena, uma placa representa 100 unidades que são 10 dezenas (10 barras juntas), finalmente 1 cubo grande que são 1000 unidades ou 10 placas com 100 unidades ou cem barras com dez barras.

Este material tal como o ábaco, pode ajudar na compreensão do valor de posição do sitema de numeração decimal. Com ele podemos representar os números inteiros e decimais, ler os números inteiros e decimais, estabelecer equivalências entre as diferentes ordens do sistema de numeração decimal, e também podemos fazer adição, subtracção, multiplicação e divisão de números inteiros e decimais no sistema de numeração decimal.
E foi assim que concluímos a semana na aula de construção.

(Adições e Subtracções com o Calculador Multibásico)
(Multiplicações e divisões com o MAB)

Blog CEMD

O Ábaco e o Calculador Multibásico

Por Ana Rita...

Após termos acabado a segunda ficha de exercícios, acerca do Geoplano, passamos ao conhecimento mais profundo de outro material manipulável, o Ábaco.
O Ábaco é um material manipulável que nos permite trabalhar por exemplo os conceitos de adição e subtracção dos números naturais. É um instrumento de cálculo, formado por uma moldura de madeira com um conjunto de varetas, cordas ou arames paralelos dispostos no sentido vertical, correspondentes cada uma a uma ordem, unidades, dezenas e centenas.
A sua origem é um pouco incerta, no entanto existem vestígios desde há 5000 anos atrás. Desenvolveu-se independentemente em diferentes países, Índia, Egipto e China, neste último teve um maior impacto. Ainda nos dias de hoje muitos chineses usam ábacos para efectuar algumas operações mais simples.

Existem diferentes tipos de ábaco, podemos citar o normal, de base decimal, e o de base 5. Em qualquer um deles interessa a posição das contas, visto o nosso sistema ser um sistema de numeração posicional, dependendo da posição da conta esta pode ter valores diferentes.


Exemplos de Ábacos

Por exemplo termos 3 e 4 contas nas varetas poderá variar o número que queremos escrever, podendo ser, 34 ou 304! De qualquer das maneiras o ábaco é um excelente material para se iniciar as operações de adição e os processos de contagem, leitura e escrita de números.
Falámos também do calculador multibásico, a grande diferença entre este e o ábaco é que no último em cada vareta podem-se colocar mais do que 10 contas, sendo então as contas amovíveis, trazendo isso vantagens no sentido de perceber a conversão de por exemplo 10 contas de uma vareta, para 1 conta na vareta imediatamente a seguir à esquerda. Cada ordem vale mais 10 vezes que a sua ordem imediatamente á direita.

Trabalhando com o Geoplano...

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15


Por Catarina...

Durante as últimas aulas estivemos em estreito contacto com o material manipulável geoplano.

Numa primeira tarefa explorámos livremente o geoplano, sem ter sido imposto qualquer tipo de desenho em concreto, apenas composições livres.

Depois, considerando como unidade de medida o comprimento do segmento obtido unindo dois pregos (pinos) à menor distância, e como unidade de medida de área a do quadrado com lado de comprimento unitário desenhámos outras figuras no geoplano.

Figuras diferentes que têm oito lados, Figura 1.
Figuras que têm quatro lados, dois deles paralelos, Figura 2.
Figuras que têm seis lados e três pares de lados paralelos, Figura 3.
Figuras que têm cinco lados e um par de lados paralelos, Figura 4.
Figuras construídas somente com dois elásticos:
- três triângulos, Figura 5;
- um pentágono e quatro triângulos, Figura 6;
- um pentágono e cinco triângulos, Figura 7.

Fizemos depois construções no geoplano de duas figuras geométricas diferentes de perímetro igual a oito, Figura 8.

Construímos também dois rectângulos diferentes mas com o mesmo perímetro, P=12, Figura 9.

Construímos e calculámos o perímetro e a área de algumas figuras, como por exemplo as da Figura 10.

Através do cálculo de áreas por decomposição, tendo em conta a unidade de área em cada caso, calculámos a área de cada uma das figuras, Figura 11.

Aproveitámos que estávamos a trabalhar com o geoplano para relembrarmos o Teorema de Pick que nos ajuda ao cálculo da área de figuras em malhas.
Este diz-nos que metade do número de ponto fronteira mais o número de pontos interiores menos uma unidade é igual à área da figura apresentada. Veja-se para isso a Figura 12.

Depois construímos figuras de área seis. Figura 13.

Construimos figuras com meia unidade de área, Figura 14.

Observámos que é possível construir quadrados de área 2, 4, 8, 9 e 16, Figura 15.

O Geoplano...

Por Ana Ferreira...

Nas últimas aulas divertidas de construção terminámos o estudo do Tangram com a elaboração de algumas figuras. Estas estavam inseridas num CD-ROM chamado “A dança dos polígonos”. Passámos ao estudo e construção do geoplano.
A palavra geoplano, do inglês Geo+Board e do francês, Geo+Plan, consiste num tabuleiro, ou superfície plana, e em que este pode ter varias formas, desde rectangular, quadrada, ou até mesmo circular. Possui pregos distribuídos no espaço de uma forma pensada, são utilizados elásticos coloridos para “desenhar” nele.
Um homem chamado Dr. Caleb Gatteno, é que em 1961 deu mais importância ao geoplano dando mais ênfase à sua utilização no desenvolvimento da aprendizagem matemática, e no caso particular a Geometria. Desde então os seus trabalhos foram bastante desenvolvidos facilitando a aprendizagem da matemática.
Tal como já dissemos o geoplano pode ser de vários tipos: quadrado, triangular, circular e oval.

Esta denominação vem da forma como estão distribuídos os pregos.

Tem uma vasta utilização podemos focar alguns aspectos importantes:
- Desenvolvimento do raciocínio lógico;
- Noção de espaço, através da manipulação dos materiais;
- Conhecimento das cores (devido à utilização dos elásticos coloridos);
- Construção espontânea de noções geométricas;
- Introdução de conceitos geométricos de forma lúdica;
- Conhecimento das figuras geométricas;
- A exploração do espaço permite representar as diferentes formas e figuras que
progressivamente aprenderá a diferenciar e nomear;
- Iniciar o desenvolvimento da percepção visual de formas geométricas planas;
- Comparar, ampliar e reduzir formas e figuras; etc
Podemos também dividir o uso do geoplano por etapas:
1. Desenhar livremente no geoplano (manipulação dos elásticos à vontade, sem
impor desenhos concretos, apenas composição livre);
2. Desenhar um objecto presente na sala de aula;
3. Desenhar um objecto dito por outra pessoa;
4. Desenhar a figura que o colega desenhou no papel quadriculado;
5. Fazer transformações numa figura apresentada inicialmente;
6. Explorar noções de: dentro, fora, em cima, em baixo… através da resolução
de problemas;
7. Explorar labirintos e caminhos: desenvolvendo o conceito de longo e curto,
perto e longe;
8. Jogos de estratégia: 4 em linha, jogo das adivinhas;
9. Juntar 4 geoplanos e desenhar um conjunto de figuras representativas de algo
conhecido;
10. Depois de elaborar os desenhos questionar as acções de lateralidade (dentro,
fora, cima, baixo, entre outros) através do posicionamento de um objecto no
geoplano;
11. Exploração de segmentos de recta;
12. Estudo das figuras geométricas e mais concretamente a análise dos seus componentes: os lados, os ângulos, os vértices e as diagonais; bem como a classificação dos mesmos;
13. Exploração de frisos e pavimentações;
14. Investigações sobre as grandezas comprimento e área;
15. Exploração de transformações geométricas.

Depois destas questões teóricas, construimos finalmente um geoplano quadrado. No final cada um dos alunos ficou com o seu.
O geoplano quadrado que construímos é um 5×5, ou seja, é formado por 25 pregos ou
pinos dispostos em cinco filas de cinco pregos cada, que mantêm entre si, horizontalmente e verticalmente, uma distância constante. A essa distância constante atribui-se o valor de 1 (uma) unidade, isto é, iremos considerar como unidade de comprimento o lado do quadrado e como unidade de área o quadrado.

Concluindo, estas aulas têm sido importantes, além de efectuarmos as nossas próprias criações de materiais, vemos como este pode e deve ser usado em ambiente de de sala de aula. É uma disciplina importante para conseguirmos transmitir melhor o ensinamento da Matemática.

(Clique na fotografia para ver o Album)

CEMD T1

Algumas actividades interessantes com o Tangram…

Por Ana Patrícia...

Na última semana de aula, e após termos construído o nosso tangram, continuámos a sua exploração.

Trabalhámos os conceitos de área e perímetro.
Vimos que podemos construir figuras com a mesma área e diferentes perímetros .

 

 
Descobrimos também que com as peças do tangram conseguimos construir figuras com a mesma área e perímetro.
 

 

Estas figuras são constituídas por peças diferentes mas têm a mesma área e perímetro, são figuras equivalentes e isoperimétricas.

Além destas investigamos a possibilidade de a partir de uma figura inicial, e movendo ou rodando apenas 1 ou 2 peças do tangram, conseguirmos obter outras figuras geométricas interessantes.
 
Pela rotação dos 2 triângulos grandes obtemos um outro triângulo a partir do quadrado inicial.

 

A partir da anterior, e rodando um dos triângulos grandes, obtemos um rectângulo.

 

Movendo agora um dos triângulos grandes obtemos um paralelogramo.

 
Conseguimos, a partir das 7 peças do tangram, elaborar actividades interessantes que nos mostram as relações que podemos encontrar entre as áreas e perímetros de figuras geométricas. Estudámos os conceitos de figuras equivalentes e isoperimétricas.

No final da semana construímos ainda algumas das 23 letras do alfabeto com as peças do tangram!

(Fotografias das nossas actividades)

CEMD T1

O Imperador Tan...

Como surgiu o Tangram?

Por Joana Cepa… 

Um dia, há muitos, muitos anos atrás, o imperador Chinês Tan penteava-se pela manhã em frente ao seu espelho quadrado. Eis senão quando este caiu no chão! Partiu-se em 7 pedaços, 2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado e 1 paralelogramo. Algo se passava, alguém lhe deveria querer falar desesperadamente, pensou... Inclinou-se perante os pedaços do espelho e teve uma ideia genial:

-“Vou fazer tudo o que os meus olhos conseguirem ver a partir das janelas do meu palácio, com a ajuda destes 7 pedaços, do meu outrora querido espelho!”

E assim foi, o Imperador Tan, segundo consta, viveu muitos e longos anos governando com sabedoria o seu povo sempre com a ajuda do seu fiel companheiro, que se passou a chamar, Tangram, sempre rodeado de muitas crianças que também aprenderam a arte da construção do mundo através de figuras especiais.

Até aos dias de hoje muitos caminhos percorreu o Tangram, no entanto continua a servir os mesmos propósitos e outros mais que antigamente no tempo do Imperador Tan:

• Aprender a noção de figuras geométricas

• Fazer a comparação de tamanhos

• Trabalhar as áreas, mais propriamente as figuras semelhantes/equivalentes

• Estudar o perímetro

Existem diferentes tipos:

• Tangram xadrez

• Tangram de contorno

• Tangram diamante

Construção do Tangram por meio de recortes:

1. Numa folha A4 faz-se a dobragem da folha construindo assim um quadrado e um rectângulo.

2. De seguida pegamos no quadrado e traçamos uma diagonal, criando assim 2 triângulos A e B.

3. Dobrando o triângulo A ao meio, ficamos com 2 triângulos grandes.

4. Com o triângulo B, encontramos o meio deste e depois dobra-se o vértice oposto ate este meio

encontrado, obtendo o triângulo médio e um trapézio.

5. Deste trapézio encontramos o meio dele e repetimos o processo para um dos seus lados,

obtendo-se disto um triângulo pequeno e o quadrado.

6. Para finalizar, do lado que sobrou, o restinho do trapézio, achamos o meio da base maior deste

e dobramos o vértice oposto ate ele, obtendo assim o outro triângulo pequeno e o paralelogramo .

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Para verem mais exemplos acerca dos puzzles colocados e outros puzzles vão ao site:

www.ageofpuzzles.com

Lá têm estes e muitos mais exemplos...

Construir um Tangram...

Nas fotos podemos ver a construção de um tangram por dois processos: através de dobragens e recortes partindo de uma folha A4, e partindo de uma folha quadriculada usando segmentos de rectas, pontos médios e o conceito de paralelismo.

A Joana Cepa irá posteriormente completar estas com a edição de um texto.

(Se clicarem na imagem seguinte têm acesso ao álbum completo das fotografias)

CEMD T1